算法
一、定义
算法是解决特定问题求解步骤的描述，，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。
二、特性
1.输入输出
- 算法具有零个或多个输入
- 算法至少有一个或多个输出
2.有穷性
- 指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成
3.确定性
- 算法的每一步都具有确定的含义，不会出现二义性
4.可行性
- 算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成
三、设计要求
1.正确性
- 算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性，能正确反映问题的需求，能够得到问题的正确答案
2.可读性
- 算法设计的另一目的是为了便于阅读，理解和交流
3.健壮性
- 当输入的数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果
4.时间效率高和存储量低
- 设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求
四、算法效率的度量方法
1.事后统计法
- 这种方法胡要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低
2.事前分析估算方法
- 在对计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算
- 一个程序的运行时间，依赖于算法好坏和问题的输入规模。所谓问题输入规模是指输入量的多少
- 最终，在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤
五、函数的渐近增长
给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么我们说f(n)的增长渐近快于g(n)
- 我们可以忽略这些加法常数
- 与最高次项相乘的常数并不重要
- 最高次项的指数大的，函数随着n的增长，结果也会增长更快
- 判断一个算法的效率时，函数中的常熟和其他次要项常常可以忽略，更应该关注主项（最高阶项）的阶数
- 某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法
六、算法时间复杂度
1.算法时间复杂度定义
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数
2.推导大O阶方法
推导大O阶：
（1）用常数1取代运行时间中的所有加法常数
（2）在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
（3）如果最高阶项存在且其系数不是1，则去除与这个项相乘的系数
得到的就是大O阶
理解大O阶推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力
七、常见的时间复杂度
| 执行次数函数 | 阶 | 非正式术语 |
|---|---|---|
| $12$ | $O(1)$ | 常数阶 |
| $2n+3$ | $O(n)$ | 线性阶 |
| $ 3n^2+2n+1 $ | $O(n^2)$ | 平方阶 |
| $5log_2$ | $O(logn)$ | 对数阶 |
| $2n+3nlog_2n+19$ | $O(nlogn)$ | nlogn阶 |
| $6n^3+2n^2+3n+4$ | $O(n^3)$ | 立方阶 |
| $ 2^n $ | $O(2^n)$ | 指数阶 |
常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：
$O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)$
八、最坏情况与平均情况
- 平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间
- 一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度
九、算法空间复杂度
算法的空间复杂度通风福哦计算算法所需的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记作：$S(n)=O(f(n))$ ，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数
